Aufgabe: Monte Carlo Berechung von Pi

Direct Sampling

Berechnen Sie durch direktes Sampling π\pi:

  • Sampeln Sie nn-Vectoren x=(x1,x2)\vec x = (x_1, x_2), die in das Einheits-Quadrat fallen mit xiUniform[0,1)x_i \sim Uniform[0,1)
  • Berechnen Sie mit deren Hilfe die Kreiszahl π\pi.

    • Beachten Sie, dass das Verhältnis der Fläche innerhalb eines Viertel des Einheitskreises (r=1r=1) zu dem umgebenden Einheits-Quadrat π/4\pi/4 ist. Durch Gleichsetzen dieses Verhältnis mit dem Verhältnis der Vektoren, die in den Einheitskreis fallen, zur Gesamtzahl der Vektoren erhalten Sie einen Schätzwert für π\pi.

b) Plotten Sie die Verteilung der erhaltenen π\pi-Werte als Histogramm für verschiedene Werte von n=[103,105]n = [10^3, 10^5]. Die verschiedenen π\pi-Werte erhalten Sie dadurch, dass Sie die Berechnung mehrmal ausführen. Geben Sie außerdem die empische Standardabweichung an.

MCMC Sampling zur Berechung von Pi

Nutzen Sie eine Markov Kette zur Berechung von π\pi:

  1. Starten Sie mit einem x=(x1,x2)\vec x = (x_1, x_2), der in das Einheits-Quadrat fällt.
  2. Erzeugen Sie ein neues Sample aus dem vorherigen Sample-Wert:
  • z.B. x(t+1)=x(t)+N(0,1σ2)\vec x^{(t+1)} = \vec x^{(t)} + \mathcal N(\vec 0, \mathbb 1 \sigma^2) mit 1=(1001)\mathbb 1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} mit kleinem σ\sigma,
  • falls x(t+1)\vec x^{(t+1)} außerhalb des Einheits-Quadrats ist: Setzen Sie x(t+1)=x(t)\vec x^{(t+1)} = \vec x^{(t)}
  1. gehen Sie solange zu 2. bis genügend Samples vorhanden sind.

Berechnen Sie aus den Samples die Kreiszahl π\pi.